第二百五十四章

跨校課題項目已經開題半個月。

這半個月時間，無論是羅宇所在課題小組，還是包梓所在的課題小組，均取得不錯的進展。

尤其是包梓這邊。

在關於變量為三元二次型的自守L-函數傅裡葉係數均值問題上取得了數項重大突破。

在包梓桌上有一本文件。

裡麵詳細的記錄了包梓在研究自守L-函數傅裡葉係數均值問題的過程中，目前取得的一係列進展。

顧律簡單的掃了一眼，接著滿意的點點頭。

總的來說，包梓這邊的進度，是比顧律預想中的要快上一些的。

顧律本以為，半個月左右的時間，包梓這邊達成10%的進度就算不錯了。

但現在看來，這個估計還是有些保守了。

在針對課題中關於傅裡葉係數均值問題的研究，包梓這邊的進度差不多是15%。

按照這個效率繼續下去，不需要半年，大概隻需要四個月左右的時間，包梓這邊就能完工。

顧律還不清楚金陵大學羅宇那邊的研究進度，無法進行比較。

但包梓這邊的研究進度，絕對不能稱得上是慢。

顧律就這樣一邊翻著桌上的文件，一邊等著包梓回來。

十幾分鐘後。

“老師，我回來了！”

人未到，聲先至。

聽到聲音後抬頭，顧律正好看到包梓蹦蹦跳跳的走進來，手裡拎著一個打包袋。

打包袋裝著幾個大包子，想必是包梓的早餐。

包梓揚了揚手中的打包袋，“老師，吃包子嗎？牛肉餡的。”

顧律笑著擺擺手，“不了，早飯我已經吃過了。”

包梓拉過一把椅子坐在顧律旁邊，一個包子被啊嗚一口咬掉一小半，一邊吃著一邊含糊不清的開口，“老師，現在可以給我指導我遇到的那個難題了吧。”

“你確定是現在嗎？”顧律指了指包梓手中未吃完的大包子。

包梓點點頭，“這樣節省時間。”

“那你說吧。”

在顧律的授意下，包梓談起她在前幾天課題研究中遇到的一個難題。

包梓研究的是變量為三元二次型的自守L-函數傅裡葉係數均值問題。

按照課題框架中製定的研究計劃。

針對該問題，需要建立兩個變量為n的函數，分彆來表示Maass尖形式和全純尖形式的傅裡葉係數。

接著，利用Dirichlet有理逼近定理和Chauchy不等式，得出T(-a;x)在主區間上的估計，以及S1(a，√2)在餘區間上的估計。

包梓就是卡在這一步上。

簡單來說，包梓沒有想通，如何利用Maass尖形式和全純尖形式的傅裡葉係數，精準的得出T(-a;x)在主區間上的估計，還有S1(a，√2)在餘區間上的估計。

“這樣啊……”

顧律摸著下巴，了解的點點頭。

包梓說的沒錯，這個地方，確實該課題的難點之一。

一旦處理不好，很容易前功儘棄。

不過，這對顧律來說，並不算什麼難題。

說完，包梓啊嗚一口咬了口包子，舒服的眯著眼，一副很滿足的樣子。

“唔，想了一晚上，一點頭緒都沒有，很難受。”

包梓含含糊糊的說了一句，但臉上不見絲毫煩惱的樣子。

“老師，這個難題，難不倒你對不對？”包梓眼睛亮晶晶的盯著顧律。

顧律點點頭。

包梓笑嘻嘻的開口，“那就麻煩老師解惑了。”

顧律無奈一笑，從桌麵上隨便拿了一張空白的草稿紙。

從筆筒裡抽出一根粉絲的碳素筆，沉吟幾秒後，顧律在紙上寫下六個大字。

“球內整點問題？”包梓輕咦一聲。

顧律淡淡一笑，開口說道，“沒錯，就是球內整點問題。”

球內整點問題，其全稱是球內整點的素數分布問題。

這是解析數論領域較為知名的一個問題。

不過，該問題尚未內徹底解決。

但，球內整點問題雖未被徹底解決，但不妨礙數學家們使用其相關的知識解決其它數學問題。

就比如說，眼前這個問題。

目前包梓遇到的這個問題，利用球內整點問題進行求解並非是唯一的方案。

但比較過幾種方案後，顧律認為這是最簡單的方案。

而包梓這邊，經過顧律這麼一提醒，瞬間恍然大悟。

與球內整點問題相關的知識很多。

但和該課題研究內容相關聯的知識，就那麼一個。

那是在上個世紀九十年代，由兩位華國數學家使用三元二次型，在球內整點問題的基礎上提出的一個公式：

πΛ(x):=∑(m1^2+m2^2+m3^2≤x)Λ(m1^2+m2^2+m3^2)=8C3I3X^(3/2)+O(x^(3/2)log^(-A)x)

當然，這個公式成立的先決條件，是A＞0。

公式並不複雜，但是球內整點問題的幾大研究成果之一。

因為其揭露了球內整點一部分素數分布問題。

雖然隱隱猜到了什麼，但包梓並非很確定，於是探尋的目光望向顧律。

顧律不再賣關子。

唰唰幾下在紙上寫下一行公式。

πΛ(x):=∑(m1^2+m2^2+m3^2≤x)Λ(m1^2+m2^2+m3^2)=8C3I3X^(3/2)+O(x^(3/2)log^(-A)x)

這個公式，正是包梓猜想的那樣。

不過包梓沒有貿然開口，而是等著顧律的下文。

顧律將公式中‘C3’和‘I3’重重圈起來，開口解釋道，“這兩個符號，C3代表球內整點問題中的奇異級數，I3代表奇異積分，我們可以先這樣……”

“……在上述前提的基礎上，由公式πΛ(x)：=（省略）可以得到公式π3(x)=12C3I3∫t^0.5/logtdt+O(x^1.5log^(-A)x)。”

顧律講述的速度很快，但旁邊的包梓卻很輕鬆的可以跟上顧律的速度，沒有絲毫壓力。

甚至，還可以抽空吃幾口包子。

顧律的思路包梓明白了大半。

簡單來說，就是利用三元二次型的球內整點問題公式，得出奇異級數以及奇異積分。

再在奇異級數和奇異積分的基礎上，得出了除數函數有關的均值問題公式。

果然，顧律講的最後一步，就是除數問題均值問題的推導。

“……最後，我們可以在前麵這五個公式的基礎上，推導出一個與除數函數有關的均值問題公式，即……”

由於並沒有事先準備，這個公式，顧律是當場先算的。

腦子裡簡單過了一遍後，顧律便在紙上寫下最終這個公式。

S(x):=∑(1≤m1，m2，m3≤x)d(m1^2+m2^2+m3^2)=8ζ(3)/5ζ(4)x^3logx+O(x^3).

“嘶，這個公式……”

當該公式的全貌呈現在顧律麵前時，似乎是想到了什麼，顧律的瞳孔猛地一縮。